问题:
设 $(X, d)$ 是度量空间，$\left\{x_n\right\}$ 是 $(X, d)$ 中的 Cauchy 点列，证明：$\left\{x_n\right\}$ 收敛当且仅当 $\left\{x_n\right\}$ 存在收敛子列。
解答: (
ID:
管理员[Alina Lagrange] math@lamu.run
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必要性是显然的。
下证充分性．设 Cauchy 点列 $\left\{x_n\right\}$ 存在收玫子列 $\left\{x_{n_k}\right\}$ 使得 $x_{n_k} \rightarrow x(k \rightarrow \infty)$ ．任取 $\epsilon>0$ ．一方面，由于 $\left\{x_n\right\}$ 是 Cauchy 点列，则存在 $N=N(\epsilon) \in \mathbb{N}_{+}$，使得
$$
d\left(x_n, x_m\right)<\frac{1}{2} \epsilon, \quad \forall m, n>N
$$
另一方面，由于 $x_{n_k} \rightarrow x(k \rightarrow \infty)$ ，则存在 $K=K(\epsilon) \in \mathbb{N}_{+}$使得
$$
n_k>N \quad \text { 并且 } \quad d\left(x_{n_k}, x\right)<\frac{1}{2} \epsilon, \quad \forall k>K .
$$
综上， 对任意 $n>N$ ，取 $k=K+1$ ，就有
$$
d\left(x_n, x\right) \leq d\left(x_n, x_{n_k}\right)+d\left(x_{n_k}, x\right)<\frac{1}{2} \epsilon+\frac{1}{2} \epsilon=\epsilon
$$
所以 $x_n \rightarrow x(n \rightarrow \infty)$ ．
